推桿活齒減速機(jī)是一種新型的少齒差行星傳動裝置，由于其推桿結(jié)構(gòu)成功地解決了輸入軸與輸出軸同軸的問題，避免了復(fù)雜的普通行星輪系的平行四邊形輸出機(jī)構(gòu)和諧波傳動的柔輪，因而與各類機(jī)械配套適應(yīng)性強(qiáng)，并具有結(jié)構(gòu)緊湊，傳動比大，傳動效率高，傳動平穩(wěn)、噪聲小、壽命長、抗過載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于輕工、紡織、運(yùn)輸、礦山、冶金、化工、食品等行業(yè)各種機(jī)械。

　　但由于其內(nèi)齒圈的齒形曲線復(fù)雜，設(shè)計計算工作量大，相應(yīng)的工裝準(zhǔn)備周期長，影響系列化、規(guī)格化的形成。國內(nèi)有少數(shù)廠家生產(chǎn)，一般采用傳統(tǒng)設(shè)計方法，設(shè)計工作繁瑣量大、周期長，尤其是內(nèi)齒圈的加工采用范成加工法，誤差大，齒形曲線不精桷，造成機(jī)構(gòu)運(yùn)轉(zhuǎn)時出現(xiàn)干涉、磨損，甚至燒壞、報廢等現(xiàn)象。因此推桿活齒減速機(jī)內(nèi)齒圈齒形優(yōu)化方法的研究具有重要意義。

　　1內(nèi)齒圈齒形曲線方程

　　在傳統(tǒng)的內(nèi)齒圈加工方法中，早期是以密切圓代替包絡(luò)曲線，由于誤差大，后來提出了范成加工方法。范成加工是根據(jù)活齒傳動的運(yùn)動原理，應(yīng)用機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化理論，演化出形成內(nèi)齒圈齒形曲線的加工裝置，通常是對普通機(jī)床進(jìn)行改造來獲得內(nèi)齒圈加工的專用設(shè)備，形成內(nèi)齒圈齒形的范成運(yùn)動是靠機(jī)床工作臺轉(zhuǎn)動和刀架往復(fù)運(yùn)動等的合成來實現(xiàn)。由于范成加工采用多個環(huán)節(jié)的機(jī)械傳動方式，在實際生產(chǎn)中難以加工出高精度的齒形曲線。

　　推桿活齒減速機(jī)主要由激波器、活齒輪、內(nèi)齒圈3個基本構(gòu)件組成，其中激波器包括輸入軸、偏心套和轉(zhuǎn)臂軸承，活齒輪包括活齒和輸出架。從推桿活齒減速機(jī)的工作原理可以看出，齒形復(fù)雜的內(nèi)齒圈是其關(guān)鍵部件。內(nèi)齒圈齒形是活齒外端高副元素的共軛曲線，運(yùn)用高副低代理論，可以建立活齒傳動的瞬時等效機(jī)構(gòu)。由此得出外滾子中心軌跡極坐標(biāo)方程為S=acos（Zk2） b2-a2sin2（Zk2） H.

　?。?）其中：S外滾子中心極徑；a偏心距；b連桿長，b=R rb；R軸承外圓半徑；rb滾子半徑；H推桿長；Zk內(nèi)齒圈齒數(shù)；1輸入軸Y軸角位移；2滾子Y軸角位移。

　　外滾子輪廓族的包絡(luò)線形成內(nèi)齒圈曲線，用包絡(luò)曲線的通用求法得齒形曲線方程為：X=Ssin-wrb/w2 1，Y=Scos rb/w2 1（2）其中：w=scos-ssinssin scos，s=dsd=-aZksin（Zk）-a2Zksin（2Zk）2b2-a2sin2（Zk）。

　　由此可知，確定內(nèi)齒圈齒形曲線的特征參數(shù)是偏心距a、軸承外圓半徑R、滾子半徑rb、推桿長H和內(nèi)齒圈齒數(shù)Zk。這5個特征參數(shù)確定后，根據(jù)以上齒形曲線方程，內(nèi)齒圈的齒形曲線也就隨之確定。

　　內(nèi)齒圈齒形曲線特征參數(shù)的確定，傳統(tǒng)方法是根據(jù)推桿活齒減速機(jī)的輸入功率P、傳動比I、輸入轉(zhuǎn)速N和輸出轉(zhuǎn)向，由經(jīng)驗公式計算后，定出偏心距a、軸承外圓半徑R、滾子半徑rb、推桿長H和內(nèi)齒圈齒數(shù)Zk5個特征參數(shù)。由經(jīng)驗公式定出的內(nèi)齒圈齒形曲線特征參數(shù)，并不一定是合理的，即使是合理的，也不一定是最優(yōu)的，因而有必要對特征參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整。

　　2活齒減速機(jī)特征參數(shù)優(yōu)化

　　針對推桿活齒減速機(jī)容易出現(xiàn)干涉磨損、燒壞報廢的現(xiàn)象，作者提出推桿活齒減速機(jī)系統(tǒng)特征參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計應(yīng)滿足三方面的優(yōu)化目標(biāo)，即：a）最大重合度、b）最小壓力角、c）最佳受力條件，從而使減速機(jī)具有最優(yōu)的傳動性能與動力性能。

　　2.1最大重合度優(yōu)化目標(biāo)的實現(xiàn)

　　重合度表示傳動機(jī)構(gòu)同時參加嚙合的齒對數(shù)，是表達(dá)活齒傳動平穩(wěn)性和承栽能力的傳動性能指標(biāo)，是受力分析和計算的重要參數(shù)。理論上，當(dāng)齒形曲線完整無缺時，重合度為滾子數(shù)的一半，并為最大重合度。

　　內(nèi)齒圈齒形曲線理論上是外滾子中心軌跡曲線的等距線，但當(dāng)外滾子中心軌跡的最小曲率半徑min小于或等于滾子半徑rb時，在齒形曲線的齒頂（曲率半徑最小處），包絡(luò)結(jié)果就不可能產(chǎn)生等距線，而使齒頂變尖、變短，即出現(xiàn)頂切。當(dāng)外滾子沿其中心軌跡動動到其齒根點(diǎn)時，，其外包絡(luò)線束不在內(nèi)齒圈齒形上，使?jié)L子與內(nèi)齒圈瞬時脫開，即同時參加嚙合的齒對數(shù)減小，影響了活齒傳動的平穩(wěn)性和承載能力。因此，不產(chǎn)生頂切的條件是：min！rb，其中min可由外滾子運(yùn)動的中心軌跡曲線方程求得。由式（1）可得出外滾子中心軌跡曲線的直角坐標(biāo)方程為：X=[acos（Zk2） b2-a2sin2（Zk2） H]sin2，Y=[acos（Zk2） b2-a2sin2（Zk2） H]cls2。

　　由微分幾何學(xué)可知，其相對曲率為：KrKrmax=b-aZ2kb2-ab，min=1Kymax=b2-abb-aZ2k=（R rb）2-a（R rb）（R rb）-aZ2k；。

　　由此得出避免頂切的條件為：（R rb）2-a（R rb）（R rb）-aZ2k！rb（3）可見，外滾子中心軌跡的最小曲率半徑min與系統(tǒng)特征參數(shù)中的軸承外圓半徑R、滾子半徑rb、偏心距a和內(nèi)齒圈齒數(shù)Zk4個特征參數(shù)有關(guān)，式（3）是一個多約束條件的關(guān)系式。在系統(tǒng)特征參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計中，式（3）必須成立，才能不產(chǎn)生頂切，滿足最大重合度的優(yōu)化要求。作者經(jīng)過進(jìn)一步的分析發(fā)現(xiàn)，R，rb、a和Zk4個特征參數(shù)中，以Zk對min的影響最大。當(dāng)產(chǎn)生頂切時，一般Zk>30，此時min<rb成立。

　　系統(tǒng)特征參數(shù)中的Zk是用戶根據(jù)機(jī)器性能提出的傳動(我國齒輪傳動制造業(yè)現(xiàn)狀分析)比要求，是確定不變的，軸承外半徑R需滿足強(qiáng)度要求，一般也不變。因此最大重合度優(yōu)化目標(biāo)的實現(xiàn)方法是通過改變a和rb去消除頂切?？紤]結(jié)構(gòu)因素，同時減小rb和a的方案比上述兩種方案顯然要恰當(dāng)些，根據(jù)式（3）可找出臨界條件時，rb和a的關(guān)系為：a=（R rb）2 （R rb）rb（R rb） rbZ2k由于根據(jù)設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)的要求，rb和a的取值只能是離散減小的，故滿足此條件的rb和a為有限組數(shù)，即此時可以獲得多對（rb，a）參數(shù)，由于不出現(xiàn)頂切干涉，因此它們都滿足最大重合度的優(yōu)化要求。

　　2.2最小壓力角優(yōu)化目標(biāo)的實現(xiàn)

　　在以上通過減小（rb，a），可以找到消除頂切的多組（rb，a），現(xiàn)再以傳動中齒廓曲線壓力角最小作為優(yōu)化目標(biāo)，對多組（rb，a）進(jìn)行優(yōu)化選擇。

　　齒廓曲線的壓力角是嚙合點(diǎn)法線與從動件中力作用點(diǎn)的速度方向所夾的銳角，壓力角是評價齒廓受力狀態(tài)的重要參數(shù)。壓力角越大，運(yùn)動表面相對滑動造成的摩擦越大，使推桿移動副受力狀態(tài)惡劣，大大降低動動效率；壓力角越小，則活齒齒輪副的傳動性能愈好，傳動效率越高。壓力角的計算公式為：tan=d（sccos2）d（scsin2）=Zksin（Zk2）cos2 （b/a）2-sin2（Zk2）sin2Zksin（Zk2）sin2 （b/a）2-sin2（Zk2）cos2（4）欲使壓力角減小，則需考慮各個參數(shù)對的影響。對于某一位置2的壓力角，在R和Zk已定的情況下，只有rb和a對有影響。因上這公式比較復(fù)雜，作者利用計算機(jī)技術(shù)繪制出不同的rb和a對的影響曲線，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a和rb增大，將隨之減小，rb的變化對的影響不大，而a的變化對的影響較明顯。因此，最小壓力角的優(yōu)化目標(biāo)，主要通過增大偏心距a來實現(xiàn)。

　　2.3最佳受力條件優(yōu)化目標(biāo)的實現(xiàn)在滿足頂切臨界條件的多組（rb，a）中，為減小壓力角提高傳動效率，自然會選擇較大的偏心距a和滾子半徑rb，這時需要考慮的第3個優(yōu)化目標(biāo)是使推桿活齒在傳動中受力狀況最佳。

　　活齒滾子與內(nèi)齒圈在嚙合過程中是多齒接觸，它們之間的載荷較復(fù)雜。推桿活齒在傳動中受3種力的作用：FQ內(nèi)齒圈作用于推桿活齒的力，其作用方向沿嚙合點(diǎn)的公法線方向；FP激波器作用于推桿活齒的力，其作用方向沿偏心輪與滾子接觸點(diǎn)的法向：F1、F2活齒架徑向?qū)Р圩饔糜谕茥U活齒的力，其作用方向與徑向?qū)Р垡苿痈钡哪Σ聊p有關(guān)。以推桿活齒為受力對象，為便于分析，將推桿活齒作質(zhì)點(diǎn)處理，假設(shè)零件之間無間隙存在，摩擦力、慣性力、自重忽略不計，可列出如下的力平衡方程X=0，F(xiàn)Psin（ 1） FQsin（？-3）-（F1-F2）=0

　　Y=0，F(xiàn)Pcos（ 1） FQcos（？-3）-（F1 F2）f2=0；

　　MB=0，F(xiàn)1（LC-LD）-F2（LA LC-LD）=0.

　　由此可以得出驅(qū)動力FP和載荷FQ的關(guān)系方程為：FP=Fq[（k-1）cos（？-3） （k 1）F2sin（-3）]（k-1）cos（ ）1-（k 1）f2sin（ 1），k=（LA LC LD）/（LC-LD）。

　　（5）其中分別為Fp、FQ的工作角；1、2、3分別為激波器與滾子、輸出架與推桿、滾子與內(nèi)齒圈間的摩擦角；LA、LC、LD分別為推桿活齒外伸長度、活齒導(dǎo)槽長度、推桿活齒所受三力匯交點(diǎn)到推桿活齒外端面的垂直距離；k為表征推桿活齒移動副各部分尺寸關(guān)系的尺度系數(shù)。

　　由上式可知，當(dāng)外載荷FQ一定時，尺度系數(shù)k越大，所需驅(qū)動力FP越小，為此在滿足傳動性能要求的前提下，應(yīng)使尺度系數(shù)k盡可能大。由k與LA、LC、LD的關(guān)系可知，增大k有三種途徑：減小LA、增大LC和LD。由于增大LC和LD意味著要增大推桿長度H，導(dǎo)致減速機(jī)的徑向尺寸增大，這一般不為用戶所接受，故只有減小LA才是可行的。

　　推桿活齒在工作結(jié)束位置和工作開始位置時，推桿活齒外伸長度LA分別具有最大值和最小值，得：LAmax=2a M-rb，LAmin=M-rb其中M為內(nèi)齒圈齒頂與活齒架外圓間的徑向距離，M一般取12mm，減小LA可至LAmin=0，由此得rb=2a M，于是得出推桿活齒移動副受力最佳條件為rb=2a M.

　　3內(nèi)齒圈齒形優(yōu)化方法的實際應(yīng)用

　　在上述推桿活齒減速機(jī)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，作者建立了推桿活齒減速機(jī)的CAD/CAM系統(tǒng)。該系統(tǒng)的功能模塊框圖如所示。

　　其中設(shè)計優(yōu)化模塊的參數(shù)設(shè)計包含3種方式：系列選擇、自行輸入、自定參數(shù)。無論采用那種方式設(shè)計，其參數(shù)都可以進(jìn)行優(yōu)化，最后獲得確定內(nèi)齒圈齒形曲線的5個優(yōu)化特征參數(shù)即偏心距a、軸承外圓半徑R、滾子半徑rb、推桿長H和內(nèi)齒圈齒數(shù)Zk。

　　仿真分析模塊主要是用于模擬推桿活齒減速機(jī)的機(jī)構(gòu)運(yùn)動，動態(tài)顯示傳動過程中激波器、活齒輪、內(nèi)齒圈3個基本構(gòu)件的嚙合傳動過程，校驗干涉現(xiàn)象，繪制齒形曲線，對推桿活齒減速機(jī)的運(yùn)動特性、動力特性進(jìn)行分析等。

　　生成代碼模塊主要是用于設(shè)定內(nèi)齒圈齒形加工的工藝參數(shù)，生成相應(yīng)的數(shù)控加工代碼，并進(jìn)行加工仿真等。

　　加工通訊模塊用于設(shè)置通訊參數(shù)，向數(shù)控機(jī)床的控制系統(tǒng)傳送數(shù)控代碼。

　　文件管理模塊用于打印設(shè)計結(jié)果所生成的ASCII碼文本文件，并生成可與TOPCAD或AUTOCAD相交換的圖形文件，從而繪制出設(shè)計圖形。

　　推桿活齒減速機(jī)CAD/CAM系統(tǒng)功能模塊為了驗證上述CAD/CAM系統(tǒng)的正確性，作者從工廠取回了某種型號的推桿活齒減速機(jī)的內(nèi)齒圈樣品，該樣品已用范成法進(jìn)行了銑削加工，尚未進(jìn)行熱處理及磨削。工廠生產(chǎn)該型號的推桿活齒減速機(jī)時，設(shè)計所采用的基本參數(shù)如下：減速機(jī)功率P：2.2kW傳動比I：12輸入轉(zhuǎn)速N：1450r/min輸出轉(zhuǎn)向：同向偏心距a：3.5mm軸承外半徑R：40mm滾子半徑rb：7mm推桿長H：22mm內(nèi)齒圈齒數(shù)Zk：11工廠樣品齒形曲線與CAD/CAM系統(tǒng)所生成齒形曲線的比較利用我校五山校區(qū)CAM中心的數(shù)控仿形系統(tǒng)，讀取其內(nèi)齒圈的齒形曲線。同時作者將工廠提供的設(shè)計參數(shù)輸入上述CAD/CAM系統(tǒng)，先不對參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，直接進(jìn)行計算并生成內(nèi)齒圈的齒形曲線。將樣品曲線與系統(tǒng)生成曲線進(jìn)行比較，結(jié)果如所示。

　　可以看出，工廠樣品的內(nèi)齒圈齒形曲線與CAD/CAM系統(tǒng)所生成的內(nèi)齒圈齒形曲線是完全吻合的。由于CAD/CAM系統(tǒng)生成的是內(nèi)齒圈成品的精確齒形曲線，而工廠樣品尚未進(jìn)行熱處理及磨削，因此，兩曲線之差即為考慮磨削加工時所留的加工余量。這表明應(yīng)用作者開發(fā)的推桿活齒減速機(jī)CAD/CAM系統(tǒng)所設(shè)計出的內(nèi)齒圈齒形曲線，與工廠生產(chǎn)實際中的齒形曲線是一致的。

　　作為上述優(yōu)化方法的進(jìn)一步應(yīng)用，作者又將工廠提供的設(shè)計參數(shù)輸入上述CAD/CAM系統(tǒng)后，對之進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。首先發(fā)現(xiàn)該套參數(shù)存在頂切問題，并不是一套優(yōu)化了的設(shè)計參數(shù)。校核計算的結(jié)果是，其外滾子中心軌跡的最小曲率半徑為5.43mm，小于滾子半徑7mm，因而不滿足最大重合度的優(yōu)化要求。作者利用CAD/CAM系統(tǒng)對之進(jìn)行優(yōu)化計算后，獲得的一套優(yōu)化設(shè)優(yōu)化前、后齒形曲線的比較減速機(jī)功率P：2.2kW傳動比I：12輸入轉(zhuǎn)速N：1450r/min輸出轉(zhuǎn)向：同向偏心距a：2.75mm軸承外半徑R：40mm滾子半徑rb：7mm推桿長H：21mm內(nèi)齒圖齒數(shù)Zk：11可以看出，CAD/CAM系統(tǒng)在優(yōu)化過程中對偏心距a、推桿長H等進(jìn)行了調(diào)整。優(yōu)化設(shè)計后，外滾子中心軌跡的最小曲率半徑為7.28mm，小于滾子半徑7mm，既消除了頂切問題的產(chǎn)生，又滿足了最大重合度的優(yōu)化要求，同時滿足推桿活齒移動副受力最佳條件：rb=2a M，M=12mm的要求。將優(yōu)化前、后的內(nèi)齒圈齒形曲線進(jìn)行比較，結(jié)果如所示。

　　4結(jié)束語

　　推桿活齒減速機(jī)是一種新型的少齒差行星傳動裝置，廣泛應(yīng)用于輕工、紡織、運(yùn)輸、礦山、冶金、化工、食品等行業(yè)各種機(jī)械。由于其內(nèi)齒圈的齒形曲線復(fù)雜，采用傳統(tǒng)的經(jīng)驗公式進(jìn)行設(shè)計和加工，難免造成機(jī)構(gòu)運(yùn)轉(zhuǎn)時出現(xiàn)干涉、磨損，甚至燒壞、報廢等現(xiàn)象。

　　為此作者提出了滿足最大重合度、最小壓力角、最佳受力條件的齒形優(yōu)化設(shè)計方法。即設(shè)計參數(shù)應(yīng)首先滿足頂切臨界條件，此時可以獲得多對（rb，a）參數(shù)，由于不出現(xiàn)頂切干涉，因此它們都滿足最大重合度的優(yōu)化要求。其次，為減小壓力角，改善受力條件，提高傳動效率，可對偏心距a進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，使之在滿足上述條件的同時滿足推桿活齒移動副受力最佳條件：rb=2a-M，M=12mm.從中獲得最優(yōu)的偏心距a、滾子半徑rb來進(jìn)行內(nèi)齒圈齒形曲線的優(yōu)化設(shè)計。

　　并結(jié)合工廠的生產(chǎn)實際問題進(jìn)行了實際的應(yīng)用，結(jié)果表明，應(yīng)用所提出的優(yōu)化方法取得了滿意的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果。